Question

已知函数f（x）=x³+x²-ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求与直线x-y-10=0平行，且与曲线y=f（x）相切的直线的方程；
（2）求函数g（x）=

f(x)

x

-alnx（x＞1）的单调递增区间；
（3）如果存在a∈[3，9]，使函数h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[-3，b]）在x=-3处取得最大值，试求b的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数与函数切线斜率的关系，求得斜率，由点斜式写出切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性求得函数的单调递增区间即可；
（3）利用导数求函数的最值的方法，通过分类讨论得出b的最大值．

解答： 解：（1）设切点为T（x₀，x₀³+x₀²），由f′（x）=3x²+2x及题意
得3 x₀²+2 x₀=1．                                     …（2分）
解得x₀=-1，或x₀=

1

3

．
所以T（-1，0）或T（

1

3

，

4

27

）．
所以切线方程为x-y+1=0或27x-27y-5=0．           …（4分）
（2）因为g（x）=x²+x-a-alnx（x＞1），
所以由g′（x）=2x+1-

a

x

＞0，得2x²+x-a＞0．      …（6分）
令φ（x）=2x²+x-a（x＞1），因为φ（x）在（1，+∞）递增，所以φ（x）＞φ（1）=3-a．
当3-a≥0即a≤3时，g（x）的增区间为（1，+∞）；        …（8分）
当3-a＜0即a＞3时，
因为φ（1）=3-a＜0，所以φ（x）的一个零点小于1、另一个零点大于1．
由φ（x）=0得零点x₁=

-1- 1+8a

4

＜1，x₂=

-1+ 1+8a

4

＞1，
从而φ（x）＞0（x＞1）的解集为（

-1+ 1+8a

4

，+∞），
即g（x）的增区间为（

-1+ 1+8a

4

，+∞）．      …（10分）
（3）方法一：h（x）=x³+4x²+（2-a）x-a，h′（x）=3x²+8x+（2-a）．
因为存在a∈[3，9]，令h′（x）=0，得x₁=

-4- 3a+10

3

，x₂=

-4+ 3a+10

3

．
当x＜x₁或x＞x₂时，h′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，h′（x）＜0．
所以要使h（x）（x∈[-3，b]）在x=-3处取得最大值，
必有

x1≤-3 x2＞-3

解得a≥5，即a∈[5，9]．  …（13分）
所以存在a∈[5，9]使h（x）（x∈[-3，b]）在x=-3处取得最大值的充要条件为h（-3）≥h（b），
即存在a∈[5，9]使（b+3）a-（b³+4b²+2b-3）≥0成立．
因为b+3＞0，所以9（b+3）-（b³+4b²+2b-3）≥0，即（b+3）（ b²+b-10）≤0．
解得

-1- 41

2

≤b≤

-1+ 41

2

，所以b的最大值为

-1+ 41

2

． …（16分）
方法二：h（x）=x³+4x²+（2-a）x-a，
据题意知，h（x）≤h（-3）在区间[-3，b]上恒成立．
即（x³+27）+4（x²-9）+（2-a）（x+3）≤0，（x+3）（x²+x-1-a）≤0   ①．
若x=-3时，不等式①成立；
若-3＜x≤b时，不等式①可化为x²+x-1-a≤0，即x²+x≤1+a  ②．…（13分）
令ψ（x）=x²+x．
当-3＜b≤2时，ψ（x）在区间[-3，b]上的最大值为ψ（-3）=6，
不等式②恒成立等价于6≤1+a，a≥5，符合题意；
当b≥2时，ψ（x）的最大值为ψ（b）=b²+b，不等式②恒成立等价于b²+b≤1+a．
由题意知这个关于a的不等式在区间[3，9]上有解．
故b²+b≤（1+a）_max，即b²+b≤10，b²+b-10≤0，解得2＜b≤

-1+ 41

2

．
综上所述，b的最大值为

-1+ 41

2

，此时唯有a=9符合题意．…（16分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线方程、判断函数的单调性、求函数最值等知识，考查分类讨论思想的运用能力，综合性强，属难题．