Question

某同学对函数f（x）=

sinx

x

进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②函数y=f（x）对任意定义域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；
④对于任意常数N＞0，存在常数b＞a＞N，函数y=f（x）在[a，b]上单调递减，且|b-a|≥1；
⑤当常数k满足k≠0时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的个数是（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：抓住函数f（x）的图象与性质来求解．

解答： 解：①f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，故①正确；
②根据正弦值在单位圆中的定义可知，|sinx|＜|x|，即在x∈（0，1]时，有|

sinx

x

|＜1，又因为|sinx|≤1，所以在x＞1时，有|

sinx

x

|＜1．又因为f（x）为偶函数，所以在其定义域内有|

sinx

x

|＜1，故②正确；
③函数f（x）的图象与x轴的交点坐标为（kπ，0）（k≠0），∴交点（-π，0）与（π，0）的距离为2π，而其余任意两点之间的距离为π，故③错误；
④令h1(x)=

1

x

，h₂（x）=sinx，两函数在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)上均单调递减，且均为正值，
∴f（x）在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)上单调递减，对于任意常数N＞0，存在常数b＞a＞N，a，b∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)，函数f（x）在[a，b]上单调递减，且|b-a|≥1，故④正确；
⑤f（x）的大致图象如图所示，
y=kx与f（x）的图象可能有2个交点，故⑤错误．
故正确的为①②④，为3个，
故选：C．

点评：本题考查了函数的图象与性质，有一定的难度，且易错，只有冷静分析，方可得到正解．