Question

已知函数.
（Ⅰ）如果函数在区间上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点（是自然对数的底数）？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）或；
（Ⅱ）存在，的范围为.

试题分析：（Ⅰ）在上是单调函数，那么它导函数在恒成立；
（Ⅱ）零点的问题一般都求函数的单调区间结合函数的图象来解决.在本题中，直接研究的图象是比较麻烦的，故考虑转化一下.
在区间()内有两个不同的零点,等价于方程在区间()内有两个不同的实根.故转化为研究 的图象.通过求导画出的简图，结合图象可得：
为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故
解此不等式即可
试题解析：解：（1）当时，在上是单调增函数，符合题意．
当时，的对称轴方程为，
由于在上是单调函数，所以，解得或，
综上，的取值范围是，或．                                   4分
（2），
因在区间()内有两个不同的零点,所以，
即方程在区间()内有两个不同的实根.                5分
设 ，   
          7分
令，因为为正数，解得或（舍） 
当时, , 是减函数；  
当时, ，是增函数.                         8分
为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故
 
解得                                             12分