Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD是一等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G是AD的中点．
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）取AB、PC的中点M、N，求证：MN∥平面PAD；
（3）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BG⊥AG，由此利用平面PAD⊥平面ABCD，能证明BG⊥平面PAD．
（2）取PD的中点H，连结AH与HN，由已知得四边形AMNH是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAD．
（3）由已知得二面角A-BC-P的平面角为∠PBG，由此能求出二面角A-BC-P的大小．

解答： （1）证明：∵ABCD为菱形，且∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，且G为AD的中点，
∴BG⊥AG，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD．
（2）证明：取PD的中点H，连结AH与HN．
∵H、N分别为PD、PC的中点，
∴HN∥CD，且HN=

1

2

CD，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，且AB=CD．
又∵M为AB的中点，∴AM∥CD，且AM=

1

2

CD．
∴HN∥AM，且HN=AM，
∴四边形AMNH是平行四边形，
∴AH∥MN，
又∵AH?平面PAD，MN不包含于平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…（8分）
（3）解：由前证明可得：PG垂直于平面ABC，AD垂直于平面PGB，
得到：AD垂直BG和BP，又AD平行于BC，
即得：BC垂直于BG和BP，
则二面角A-BC-P的平面角为∠PBG．
∵△ABD为等边三角形，
侧面PAD是一等边三角形，
∴在三角形PBG中，∠PBG=45°，
∴二面角A-BC-P的大小为45°．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．