Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=（x-2）lnx．给出下列命题：
①当x＜0时，f（x）=（x+2）ln（-x）；
②函数f（x）有四个零点；
③f（x）＞0的解集为（-2，0）∪（2，+∞）；
④任意的x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇函数的性质，f（-x）=-f（x），加以判断．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵x＞0时，f（x）=（x-2）lnx
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=（-x-2）ln（-x）=-f（x）
即f（x）=（x+2）ln（-x），
∴f（x）=

(x-2)lnx， x＞0 (x+2)ln(-x)，x＜0

故①正确，
当f（x）=0时，x=±2，或x=±1
∴函数f（x）有4个零点，
故②正确
f（x）＞0的解集是（-2，-1）∪（0，1）∪（2，+∞）
故③错误
∵任意的x₁，x₂∈R，设x1=e2，x2=-e2，
则|f（x₁）-f（x₂）|=|（e²-2）lne²-（-e²+2）lne²|=|4（e²-2）|＞2，
故④错误，
故答案为：①②．

点评：本题考查了函数解析式的求法，零点的求法，以及函数的单调性，属于基础题目．本题也可以利用绘画函数图象，通过图象得到结论．