Question

已知数列的前n项和为S_n，并且满足a₁＝2，na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．

(1) 求{a_n}的通项公式；

(2) 令T_n＝S_n，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T_n≤T_m？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1) 令n＝1，

由a₁＝2及na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，①

得a₂＝4，故a₂－a₁＝2，

当n≥2时，有(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，②

①－②，得

na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n.

整理得a_n＋1－a_n＝2(n≥2)．

当n＝1时，a₂－a₁＝2，所以数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，

故a_n＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2) 由(1)得S_n＝n(n＋1)，所以T_n＝ (n²＋n)．

解得8≤n≤9.

故T₁<T₂<…<T₈＝T₉>T₁₀>T₁₁>…

故存在正整数m对一切正整数n，总有T_n≤T_m，

此时m＝8或m＝9.