Question

（Ⅰ）求函数y=

x-1

x+1

的值域．
（Ⅱ）求函数y=2x-

x+1

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求原函数的反函数，利用原函数与反函数的定义域值域互换解题；
（2）先对根式整体换元（注意求新变量的取值范围），把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可．

解答： 解：（1）由y=

x-1

x+1

得：x=

y+1

1-y

，
∴函数y=

x-1

x+1

的反函数为y=

x+1

1-x

，
反函数的定义域为：x≠1
∴原函数的值域为{y|y≠1}
（2）令

x+1

=t，t≥0，则 x=t²-1，
∴y=2t²-2-t=2(t-

1

4

)2-

17

8

≥-

17

8

，当且仅当t=

1

4

时取等号，
故所求函数的值域为[-

17

8

，+∞），

点评：本题主要考查用反函数法求值域，以及换元法求值域，以及二次函数在闭区间上求值域问题．换元法求值域适合于函数解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目．