题目内容
已知O为坐标原点，向量
=（sinα，1），
=（cosα，0），
=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且
=
．
（1）求点P的坐标（用α表示）；
（2）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；
（3）（文科）记函数f（α）=
•
，且f（
）=
，求sin2θ的值．
（3）（理科）记函数f（α）=
•
，α∈（-
，
），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域．
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
| BP |
（1）求点P的坐标（用α表示）；
（2）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；
（3）（文科）记函数f（α）=
| BP |
| CA |
| θ |
| 2 |
3
| ||
| 5 |
（3）（理科）记函数f（α）=
| BP |
| CA |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由于
=
，可解得
=2
-
．
（2）由O，P，C三点共线，可得
∥
，利用向量共线定理可得2（2cosα-sinα）-sinα=0，可得即可得出tanα，2sinαcosα．即可得出|
+
|及.|
-
|．
（3）（文科）由
=（cosα-sinα，-1），
=（2sinα，-1），利用数量积可得函数f（α）=
•
=
sin(2α+
)．利用f（
）=
，可得sin(θ+
)=
，
sin2θ=-cos(2θ+
)=-[1-2sin2(θ+
)]．
（3）（理科）同文科可得：函数f（α）=
•
=
sin(2α+
)．由α∈（-
，
），可得(2α+
)∈(0，
)．利用正弦函数的单调性即可得出．
| AB |
| BP |
| OP |
| OB |
| OA |
（2）由O，P，C三点共线，可得
| OP |
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
（3）（文科）由
| BP |
| CA |
| BP |
| CA |
| 2 |
| π |
| 4 |
| θ |
| 2 |
3
| ||
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
sin2θ=-cos(2θ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
（3）（理科）同文科可得：函数f（α）=
| BP |
| CA |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
解答：
解：（1）∵
=
，
∴（cosα，0）-（sinα，1）=
-（cosα，0），
解得
=（2cosα-sinα，-1）．
（2）∵O，P，C三点共线，∴
∥
，
∴2（2cosα-sinα）-sinα=0，化为tanα=
=
，
∴2sinαcosα=
=
=
．
∴|
+
|=
=
=
=
．
|
-
|=
=
=
=
．
∴以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为
，
．
（3）（文科）∵
=（cosα-sinα，-1），
=（2sinα，-1），
∴函数f（α）=
•
=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+1-2sin2α=sin2α+cos2α=
sin(2α+
)．
又f（
）=
，∴
sin(θ+
)=
，化为sin(θ+
)=
，
∴sin2θ=-cos(2θ+
)=-cos2(θ+
)=-[1-2sin2(θ+
)]=-[1-2×(
)2]=-
．
（3）（理科）∵
=（cosα-sinα，-1），
=（2sinα，-1），
∴函数f（α）=
•
=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+1-2sin2α=sin2α+cos2α=
sin(2α+
)．
∵α∈（-
，
），∴(2α+
)∈(0，
)．
当(2α+
)∈(0，
)时，即α∈(-
，
)，函数f（α）单调递增；
当(2α+
)∈(
，
)时，即α∈(
，
)，函数f（α）单调递减．
∴sin(2α+
)∈(-
，1]，
sin(2α+
)∈(-1，
]，
∴f（α）的值域为(-1，
]．
| AB |
| BP |
∴（cosα，0）-（sinα，1）=
| OP |
解得
| OP |
（2）∵O，P，C三点共线，∴
| OP |
| OC |
∴2（2cosα-sinα）-sinα=0，化为tanα=
| sinα |
| cosα |
| 4 |
| 3 |
∴2sinαcosα=
| 2sinαcosα |
| sin2α+cos2α |
| 2tanα |
| tan2α+1 |
| 24 |
| 25 |
∴|
| OA |
| OB |
| (sinα+cosα)2+1 |
| 2sinαcosα+2 |
|
| ||
| 5 |
|
| OA |
| OB |
| (sinα-cosα)2+1 |
| 2-2sinαcosα |
2-2×
|
| ||
| 5 |
∴以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
（3）（文科）∵
| BP |
| CA |
∴函数f（α）=
| BP |
| CA |
| 2 |
| π |
| 4 |
又f（
| θ |
| 2 |
3
| ||
| 5 |
| 2 |
| π |
| 4 |
3
| ||
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
∴sin2θ=-cos(2θ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 7 |
| 25 |
（3）（理科）∵
| BP |
| CA |
∴函数f（α）=
| BP |
| CA |
| 2 |
| π |
| 4 |
∵α∈（-
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
当(2α+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
当(2α+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
∴sin(2α+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴f（α）的值域为(-1，
| 2 |
点评：本题综合考查了向量共线定理、坐标运算、数量积的性质、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（ ）
A、-
| ||||
B、k＞-
| ||||
C、k≥0或k＜-
| ||||
D、k≥0或k＜-
|
已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象如图所示．