Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+ksinθ）=-2（k为实数）．
（1）判断曲线C₁与直线l的位置关系，并说明理由；
（2）若曲线C₁和直线l相交于A，B两点，且|AB|=$\sqrt{2}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1即可把参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+ksinθ）=-2（k为实数），化为直角坐标方程：x+ky+2=0．由于直线经过定点P（-2，0），判断此点与圆的位置关系即可得出结论．
（2）利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程：（x+1）²+y²=1，圆心C₁（-1，0），半径r=1．
直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+ksinθ）=-2（k为实数），化为直角坐标方程：x+ky+2=0．
直线经过定点P（-2，0），此点在圆C₁上，因此曲线C₁与直线l的位置关系是相切或相交．
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$，化简可得：k²=1，解得k=±1．
∴直线l的斜率为$-\frac{1}{k}$=±1．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．