Question

5．在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．

Answer 1

分析 以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EAC与平面ABCD的夹角．

解答 解：∵AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，
∴以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），D（2$\sqrt{3}$，-2，0），E（$\sqrt{3}$，-1，1），A（0，0，0），
C（2$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面EAC与平面ABCD的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{π}{4}$，
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．