Question

7．已知f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$+log₂（x-1）+log₂（p-x）
（1）求f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的值域为（-∞，log₂$\frac{（p+1）^{2}}{4}$]，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据真数大于0，可以构造不等式组，解得f（x）的定义域；
（2）根据函数的定义域可得p＞1时，满足函数f（x）的值域为（-∞，log₂$\frac{（p+1）^{2}}{4}$]．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{x-1}＞0\\ x-1＞0\\ p-x＜0\end{array}\right.$可得：x∈（1，p），
即f（x）的定义域的定义域为（1，p），
（2）由（1）知p＞1，此时f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$+log₂（x-1）+log₂（p-x）=log₂[（x+1）（p-x）]
此时t=（x+1）（p-x）的最大值为$\frac{（p+1）^{2}}{4}$＞0，
函数f（x）的值域为（-∞，log₂$\frac{（p+1）^{2}}{4}$]
故p＞1

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，切记函数的定义域不能为空集．