Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，，且存在不相等的实数，，使得，求证：且.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)见证明

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）由存在不相等的实数，，使得矛盾，得到，再由，转化为证明，转化为证明，利用换元法和导数，求得函数的单调性与最值，即可求解.

（1）由题意，函数，可得，

当时，因为，所以，所以，

故函数在上单调递增；

当时，，，所以，

故函数在单调递增；当时，，

解得或，，

解得，

所以函数在区间上单调递减，

在区间和区间上单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增，

当时，函数在区间上单调递减，

在区间和区间上单调递增.

（2）由题知，则.

当时，，所以在上单调递增，

与存在不相等的实数，，使得矛盾，所以.

由，得，

所以，不妨设，

因为，所以，

欲证，只需证，

只需证，

令，，等价于证明，即证，

令，，

所以在区间上单调递减，所以，

从而得证，于是.