题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)设函数(其中
为
的导函数),判断
在
上的单调性;
(2)若函数在定义域内无零点,试确定正数
的取值范围.
【答案】(1) 在
上单调递增.(2)
.
【解析】
(1)先分析得到,即得函数
在
上的单调性;(2)先利用导数求出
,再对a分三种情况讨论,讨论每一种情况下的零点情况得解.
(1)因为,则
,
,
∴,
∴在
上单调递增.
(2)由知
,
由(1)知在
上单调递增,且
,可知当
时,
,
则有唯一零点,设此零点为
,
易知时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减,
故,其中
.
令,
则,
易知在
上恒成立,所以
,
在
上单调递增,且
.
①当时,
,由
在
上单调递增知
,
则,由
在
上单调递增,
,所以
,故
在
上有零点,不符合题意;
②当时,
,由
的单调性知
,则
,此时
有一个零点,不符合题意;
③当时,
,由
的单调性知
,则
,此时
没有零点.
综上所述,当无零点时,正数
的取值范围是
.

【题目】某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润
万元之间有如下的统计数据:
x | 2 | 3 | 4 | 5 |
Y | 18 | 27 | 32 | 35 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润.
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
参考数据:2×18+3×27+4×32+5×35=420
【题目】某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,
方案一:每满200元减50元;
方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数 | 3 | 2 | 1 | 0 |
实际付款 | 半价 | 7折 | 8折 | 原价 |
(1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;
(2)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?