Question

数列{a_n}为首项为a₁、公差为d的等差数列，且a₁₆+a₁₇+a₁₈=-36，a₉=-36，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的首项a₁及公差d．
（2）求S_n的最小值，并求出S_n取得最小值时n的值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和等差数列的性质得a₁₇=-12，再由a₉=-36求出公差d，根据通项公式求出a₁；
（2）由等差数列的前n项和公式表示出S_n，化简后求出对称轴方程，再根据二次函数的性质和n的取值范围，确定S_n取得最小值时n的值．

解答： 解：（1）等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=-36，
所以3a₁₇=-36，解得a₁₇=-12，
又a₉=-36，所以d=

a17-a9

17-9

=3，
所以a₉=a₁+8d=-36，解得a₁=-60，
（2）由（1）得，Sn=na1+

n(n-1)

2

×d
=-60n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n2-

123

2

n，
对称轴n=-

- 123 2

3

=

123

6

，又n取正整数，
则当n=20或21时，S_n取得最小值．

点评：本题考查了等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，以及利用二次函数的性质求出S_n的最小值，注意n取正整数．