Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，-3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点M是（1）中抛物线上一个动点，且位于直线AC的上方，试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）代入A，C两点，列出方程，解得a，b即可；
（2）设M（a，-a²+4a-3），直线AC：y=1-x，过M作x轴的垂线交AC于N，则N（a，1-a），即有三角形ACM的面积为△AMN和△CMN的面积之和，化简运用二次函数的最值，即可得到；
（3）讨论当∠ACP=90°，当∠CAP=90°，运用直线方程和抛物线方程求交点即可．

解答： 解：（1）由于A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，-3），
则a+b-3=0，且16a+4b-3=-3，解得，a=-1，b=4，
即有y=-x²+4x-3；
（2）设M（a，-a²+4a-3），直线AC：y=1-x，
过M作x轴的垂线交AC于N，则N（a，1-a），
即有三角形ACM的面积为△AMN与△CMN的面积之和，即为

1

2

（a-1+4-a）（-a²+4a-3-1+a）
=

3

2

（-a²+5a-4），当a=

5

2

时，面积取得最大，且为

27

8

，
此时M（

5

2

，

3

4

）；
（3）当∠ACP=90°，即有此时CP：y=x-7，代入抛物线方程，可得，P（-1，-8）；
当∠CAP=90°，即有此时AP：y=x-1，代入抛物线方程，可得，P（2，1）．
故存在点P，且为（-1，-8）或（2，1），使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，解方程求交点，考查二次函数的最值问题，属于中档题．