Question

已知点A（2，3），B（1，0），C（-1，0），点D、E分别在线段AB、AC上，

AD

DB

=λ₁，

AE

EC

=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段BE、CD交于点P，则点P轨迹的长度是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：由已知把D，E的坐标用λ₁，λ₂的坐标表示，写出直线CD和BE的方程，联立求得P的坐标，得到P的轨迹，则点P轨迹的长度可求．

解答： 解：如图，

设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），

AD

=(x1-2，y1-3)，

DB

=(1-x1，-y1)，

AE

=(x2-2，y2-3)，

EC

=(-1-x2，-y2)，
由

AD

DB

=λ₁，

AE

EC

=λ₂，得

AD

=λ1

DB

，

AE

=λ2

EC

，
∴

x1-2=λ1-λ1x1 y1-3=-λ1y1

，得

x1= λ1+2 λ1+1 y1= 3 λ1+1

，

x2-2=-λ2-λ2x2 y2-3=-λ2y2

，得

x2= 2-λ2 λ2+1 y2= 3 λ2+1

．
∴CD方程为：（2λ₁+3）y=3x+3，
BE方程为：（1-2λ₂）y=3x-3．
联立

(2λ1+3)y=3x+3 (1-2λ2)y=3x-3

，解得

x= 1 2 +λ1 y= 3 2

（λ₁+λ₂=1），
∴点P轨迹是线段y=

3

2

（

1

2

≤x≤

3

2

），
则点P轨迹的长度是1．
故答案为：1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了利用向量求曲线的轨迹方程，关键在于参数的运用，是中档题．