Question

5．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+3bx-2的导函数为f′（x），若f′（x）满足f′（x+2）=f′（2-x），且f（x）≥-2在[1，3]上恒成立，则实数b的取值范围为[7，+∞）．

Answer 1

分析 先求导，根据函数的对称性，求出a的值，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+2b，
∵函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
∴$\frac{2a}{6}$=2，即a=6．
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-6x²+3bx-2
∵f（x）≥-2在[1，3]上恒成立，
即$\frac{1}{3}$x³-6x²+2bx+1≥-2在[1，3]上恒成立，
∴2b≥-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{3}{x}$在[1，3]上恒成立，
令g（x）=-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{3}{x}$，x∈[1，3]，
∴g′（x）=-$\frac{2}{3}$x+6+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0在1，3]上恒成立，
∴g（x）在[1，3]上单调递增，
∴g（x）_max=g（3）=14，
∴2b≥14，
∴b≥7，
故b的范围为[7，+∞），
故答案为：[7，+∞）

点评 本题考查了利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的正负有关．本题还考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成求函数的最值问题．属于中档题．