Question

10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，点（2，0）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点（2，0）在椭圆C上，可得a=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，解出即可得出．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B'（x₂，-y₂），Q（n，0）．设直线AB：y=k（x-1）（k≠0）．与椭圆方程联立得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．直线AB'的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，令y=0，解得n，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），再利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2．
又因为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$．
所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$．
所以椭圆C的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．             …（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B'（x₂，-y₂），Q（n，0）．
设直线AB：y=k（x-1）（k≠0）．…（6分）
联立y=k（x-1）和x²+4y²-4=0，得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
直线AB'的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，…（9分）
令y=0，解得$n=-\frac{{{y_1}（{x_1}-{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}$…（11分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以$n=\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-2}}=4$．…（13分）
所以直线AB'与x轴的交点Q是定点，坐标为Q（4，0）．…（14分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．