Question

19．若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①y=x²-1；②y=2+log₂x；③y=2^x-1；④$y=\frac{1}{x-1}$．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个．

Answer 1

分析 若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．即可判断．

解答 解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，可见[m，n]是单调递增．
对于①y=x²-1；根据新定义可得：x²-1=x，方程有两个解，即函数y=x²-1与函数y=x有两个交点．但在同一增区间上只有一个，故①不是；
对于②y=2+log₂x；根据新定义可得：2+log₂x=x，即函数y=2+log₂x与函数y=x有两个交点．且在定义域内都是递增，故②是；
对于③y=2^x-1；根据新定义可得：2^x-1=x，即函数y=2^x-1与函数y=x有两个交点．且在定义域内都是递增，故③是；
对于④$y=\frac{1}{x-1}$；根据新定义可得：x²-x=1，方程有两个解，即函数$y=\frac{1}{x-1}$与函数y=x有两个交点．但在同一增区间是只有一个，故④不是；
故答案为：2．

点评 本题考查了新定义的理解和定义域，值域的关系的运用．属于中档题．