Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a-3b）sinA．
（1）求角C的大小；
（2）若c=4，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式可得a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可求cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）由（1）及余弦定理，基本不等式可求16≥（a+b）²-$\frac{3（a+b）^{2}}{4}$，解得a+b≤8，利用两边之和大于第三边可求a+b＞c=4，即可得解a+b的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2csinC=（2b+a）sinB+（2a-3b）sinA．
∴2c²=（2b+a）b+（2a-3b）a，整理可得：a²+b²-c²=ab，…3分
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由c=4及（1）可得：16=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3（a+b）^{2}}{4}$，…8分
∴解得：a+b≤8，…10分
又∵a+b＞c=4，
∴a+b∈（4，8]…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．