Question

9．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sinα+cosα=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则cos2α=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα-sinα＜0，然后求出cosα-sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sinα+cosα=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{3}$，2sinαcosα=-$\frac{2}{3}$＜0，…（4分）
∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0．…（6分）
又∵（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=$\frac{5}{3}$，从而有：cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，…（9分）
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）×（-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（12分）
故选：A．

点评 本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．