Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，且关于x的方程f（x）=x有两个相等的根为1，设函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值分别是M，m，记h（a）=M+m，当a≥1时，求h（a）的最小值．

Answer 1

分析 根据韦达定理得到b=1-2a，c=a，即可得到函数关于参数a的函数，根据二次函数的性质即可求出关于a的函数h（a），根据函数的单调性即可求出最小值．

解答 解：由题意得：方程ax²+（b-1）x+c=0存在相等的实数根x₁=x₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（b-1）^{2}-4ac=0}\\{a+b-1+c=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{b=1-2a}\\{c=a}\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a=a（x-$\frac{2a-1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
对称轴x=1-$\frac{1}{2a}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
则x∈[-2，2]时，$h（a）=M+m=f（-2）+f（1-\frac{1}{2a}）=9a-\frac{1}{4a}-1$，
而h（a）在[1，+∞）上是增函数，
∴$h{（a）_{min}}=\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质和韦达定理，以及函数的单调性和最值的问题，属于中档题．