Question

如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，F是线段DE上的任意一点，DE∥BC，且S_△ABC=1，求证：△BDF和△CEF中至少有一个三角形的面积不大于

1

8

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,反证法与放缩法

专题：推理和证明

分析：通过F为DE的中点，两个三角形△BDF和△CEF面积相等，求出面积的最大值，即可证明结果．

解答：解：设A到BC的距离为h，由题意S_△ABC=1，可知BC•h=2．
要证明△BDF和△CEF中至少有一个三角形的面积不大于

1

8

．
只要证明，F为DE的中点，两个三角形△BDF和△CEF面积相等，求出面积的最大值不大于

1

8

即可．
设EF=x，h₁为A到EF的距离，则

2x

BC

=

h1

h

，h₁=

2xh

BC

△BDF和△CEF的高h-h₁=h-

2xh

BC

=h-h²x．
△BDF和△CEF的面积为S=

1

2

x(h-h1)=

1

2

[hx-（hx）²]，
当hx=

1

2

时，S取得最大值：

1

2

(

1

2

-(

1

2

)2)=

1

8

．
这就是说，两个三角形面积相等的最大值不大于

1

8

，
所以：△BDF和△CEF中至少有一个三角形的面积不大于

1

8

．

点评：本题考查分析法与综合法的应用，三角形面积的最值问题，考查转化思想以及计算能力．