Question

已知函数f（x）=cos²ωx+

3

sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π
（1）求f（

2π

3

）的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）函数y=f（x）的图象如何有y=sinx的图象变换得到．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）函数化简可得f（x）=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），从而可求ω的值，进而可求f（

2π

3

）的值；
（2）分别令2x+

π

6

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，得到相应的x的值及y的值，再描点即可；
（3）利用左加右减的原则，以及纵横坐标的伸缩变换，即可得到函数的解析式为y=f（x）对应的图象．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²ωx+

3

sinωx•cosωx=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），
∴由T=

2π

2ω

=π，可求得ω=1，
∴f（

2π

3

）=

1

2

+sin（2×

2π

3

+

π

6

）=-

1

2

．
（2）解：列表

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

图象如图如下：

（3））函数y=sinx的图象向左平移

π

6

单位，然后横坐标缩短到原来的

1

2

，得到的函数的图象再向上平移

1

2

个单位，即可得到函数y=f（x）的图象．

点评：本题考查函数的图象，函数的图象平移与伸缩变换，五点作图法，属于基本知识的考查．