Question

已知圆C：x²+y²=3的半径等于椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x-

6

的距离为

3

-

2

2

，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点F（c，0）（c＞0），由已知条件得|c-

6

|=

6

-1，圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由圆心O到直线l的距离为

|- 6 |

2

=

3

，得|AM|=

|OA2|-|OM2|

=

x 2 1 + y 2 1 -3

，由已知条件推导出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

解答： （Ⅰ）解：设点F（c，0）（c＞0），
则F到直线l的距离为

|c- 6 |

2

=

3

-

2

2

，
即|c-

6

|=

6

-1，…（2分）
因为F在圆C内，所以c＜

3

，故c=1；…（4分）
因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b²=3，
椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）证明：因为圆心O到直线l的距离为

|- 6 |

2

=

3

，
所以直线l与圆C相切，M是切点，
故△AOM为直角三角形，
所以|AM|=

|OA2|-|OM2|

=

x 2 1 + y 2 1 -3

，
又

x12

4

+

y12

3

=1，得|AM|=

1

2

x1，…（7分）
|AF|=

(x1-1)2+ y 2 1

，
又

x12

4

+

y12

3

=1，得|AF|=2-

1

2

x1，…（9分）
所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，…（11分）
所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，
即|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．