题目内容

5．在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=（2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（x，y），$\overrightarrow{CD}$=（1，$\frac{7}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，求x，y之间的关系式；
（2）满足（1）的同时又有$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．

分析 （1）$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$．$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，利用向量共线定理即可得出．．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（2+x，-2+y），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$（x+1，y+\frac{7}{2}）$．由$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，再利用SABCD=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|$即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$=-$（1，\frac{7}{2}）$-（x，y）-（2，-2）=（-3-x，-y-$\frac{3}{2}$）．
∵$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，∴x（-y-$\frac{3}{2}$）-y（-3-x）=0，化为x=2y．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（2+x，-2+y），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$（x+1，y+\frac{7}{2}）$．
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，∴（2+x）（x+1）+（y-2）（y+$\frac{7}{2}$）=0，又x=2y，
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{AC}$=$（3，-\frac{3}{2}）$，$\overrightarrow{BD}$=（2，4），$|\overrightarrow{AC}|$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，$|\overrightarrow{BD}|$=$2\sqrt{5}$．
或$\overrightarrow{AC}$=（-2，-4），$\overrightarrow{BD}$=（-3，$\frac{3}{2}$），$|\overrightarrow{AC}|$=$2\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∴SABCD=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的共线、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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