Question

2．判断直线kx-y+3=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的位置关系．

Answer 1

分析 将直线方程y=kx+3，代入椭圆方程，由△＞0，直线与椭圆相交，△=0，直线与椭圆的相切，△＜0，直线与椭圆相离．

解答 解：当x=0，y=3，直线恒过点（0，3），y=kx+3，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+24kx+20=0，
△=576k²-4×20×（4k²+1）=16（16k²-5），
（1）当△=16（16k²-5）＞0，即k＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$或k＜-$\frac{\sqrt{5}}{4}$时，直线kx-y+3=0与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交；
（2）当△=16（16k²-5）=0，即k=$\frac{\sqrt{5}}{4}$或k=-$\frac{\sqrt{5}}{4}$时，直线kx-y+3=0与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切；
（3）当△=16（16k²-5）＜0，即-$\frac{\sqrt{5}}{4}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$时，直线kx-y+3=0与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相离，
综上可知：k∈（-∞，-$\frac{\sqrt{5}}{4}$）∪（$\frac{\sqrt{5}}{4}$，+∞）直线kx-y+3=0与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交；
k=$\frac{\sqrt{5}}{4}$或k=-$\frac{\sqrt{5}}{4}$时，直线kx-y+3=0与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切；
k∈（-$\frac{\sqrt{5}}{4}$，$\frac{\sqrt{5}}{4}$），直线kx-y+3=0与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相离．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于基础题．