Question

10．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BC-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形；
③AB与CD所成的角90°；④二面角A-BC-D的平面角正切值是$\sqrt{2}$；
其中正确结论是①②④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 假设正方形边长为1，作出直观图，根据面面垂直的性质和正方形的性质进行判断．

解答 解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确．
设折叠前正方形的边长为1，则BD=$\sqrt{2}$，∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=1．
∴△ABC是等边三角形，故②正确．
取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EF∥CD，FG∥AB，
∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，FG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，EG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，
∴△EFG是等边三角形，∴∠EFG=60°，故③错误．
∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．
∵AE⊥EF，∴tan∠AFE=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$．故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了空间线面的位置关系和空间角的求法，属于中档题．