Question

设函数.
（1）若,试求函数的单调区间；
（2）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为1；
（3）令，若函数在区间（0，1］上是减函数，求的取值范围.

Answer 1

（1）的减区间为,增区间
（2）导数的几何意义的运用，理解切线的斜率即为该点的导数值既可以得到求证。
（3）

试题分析：解: （1）时,          1 分
                   3分

的减区间为,增区间                 5分
（2）设切点为，
切线的斜率，又切线过原点
           7分
满足方程，由图像可知
有唯一解，切点的横坐标为1；              -8分
或者设,
,且,方程有唯一解         -9分
（3），若函数在区间（0，1］上是减函数，
则，所以---（*） 10分


若，则在递减，
即不等式恒成立                11分
若,
在上递增,

,即,上递增,
这与,矛盾               13分
综上所述,                                    14分
解法二: ，若函数在区间（0，1］上是减函数，
则，所以 10分
显然,不等式成立
当时,恒成立            11分
设
设
在上递增, 所以         12分
在上递减,
所以             14分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于中档题。