Question

20．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点$（1，\frac{3}{2}）$，它的一个焦点与抛物线E：y²=4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l经过点F（1，0），设点P（-1，k），且△PAB的面积为$4\sqrt{3}$，求k的值；
（3）若直线l过点M（0，-1），设直线OC，OD的斜率分别为k₁，k₂，且$\frac{1}{k_1}，\frac{2}{k}，\frac{1}{k_2}$成等差数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点$（1，\frac{3}{2}）$，它的一个焦点与抛物线E：y²=4x的焦点重合，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆Γ的方程．
（2）设直线l：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出k的值．
（3）设直线l：y=kx-1，代入椭圆，得（4k²+3）x²-8kx-8=0，由此利用M（0，-1）在椭圆内部，得l与椭圆恒有两个交点，根据韦达定理、等差数列的性质，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题设$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设直线l：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
l与抛物线E有两个交点，k≠0，
△=16（k²+1）＞0，
则|AB|=$\frac{\sqrt{4（{k}^{4}+4{k}^{2}+4）-4{k}^{4}}}{{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
P（-1，k）到l的距离d=$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
又${S}_{△PAB}=4\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$•$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{3}$，即4k²=3k²+3，
解得k=$±\sqrt{3}$．
（3）设直线l：y=kx-1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-8kx-8=0，M（0，-1）在椭圆内部，
∴l与椭圆恒有两个交点，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8k}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{4{k}^{2}+3}$，
由$\frac{1}{k_1}，\frac{2}{k}，\frac{1}{k_2}$成等差数列，
得$\frac{4}{k}$=$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}+\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}-1）+{x}_{2}（k{x}_{1}-1）}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{-16k-8k}{-8{k}^{2}-8{k}^{2}+4{k}^{2}+3}$=$\frac{24k}{12{k}^{2}-3}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x-1$．

点评 本题考查椭圆方程、直线斜率、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，等差数列等知识点的合理运用．