题目内容
10．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B．C所对的边，点M为△ABC的重心．若a$\overrightarrow{MA}$+b$\overrightarrow{MB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{MC}$=0，则C=（ ）| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
分析 由三角形重心的结论，求得三角形三边之间的关系，利用余弦定理，即可求得C．
解答 解：∵点M为△ABC的重心，则$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，
∵a$\overrightarrow{MA}$+b$\overrightarrow{MB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$a（-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}）+b\overrightarrow{MB}+\frac{\sqrt{3}}{3}c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$，
即$（b-a）\overrightarrow{MB}+（\frac{\sqrt{3}}{3}c-a）\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{MB}$与$\overrightarrow{MC}$不共线，∴b-a=0，$\frac{\sqrt{3}}{3}c-a=0$．
得a：b：$\frac{\sqrt{3}}{3}$c=1：1：1．
令a=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，
利用余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1+1-3}{2×1×1}=-\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{2π}{3}$．
故选：D．
点评 本题考查向量知识，考查余弦定理的运用，求得三角形三边之间的关系是关键，是中档题．
| A． | {1，2，3} | B． | {2，3，5} | C． | {2，3，4，5} | D． | {1，7} |
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD=DC=CB=BF=$\frac{1}{2}$AB．| A． | 5 | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{2}$ |
如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱AA1⊥底面ABCD，M是AC的中点，∠BAD=120°，AA1=AB．