Question

20．如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧棱AA₁⊥底面ABCD，M是AC的中点，∠BAD=120°，AA₁=AB．
（1）证明：MD₁∥平面A₁BC₁；
（2）求直线MA₁与平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁交A₁C₁于点E，连接BE，BD，可证明四边形ED₁MB是平行四边形，从而MD₁∥BE，从而MD₁∥平面A₁BC₁；
（2）证明平面BB₁D₁D⊥平面BC₁A₁，作出线面角，求出相关线段的长度即可求解．

解答 （1）证明：连接B₁D₁交A₁C₁于点E，连接BE，BD，
∵ABCD为菱形，∴M是BD的中点，
∴ED₁∥BM，ED₁=BM，
∴四边形ED₁MB是平行四边形，
∴MD₁∥BE，又MD₁?平面A₁BC₁，BE?平面A₁BC₁，
∴MD₁∥平面BC₁A₁．
（2）解：∵A₁B₁C₁D₁为菱形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，又A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴平面BB₁D₁D⊥平面BC₁A₁，
过点M作平面BB₁D₁D和平面BC₁A₁交线BE的垂线，垂足为H，
则MH⊥平面BC₁A₁，
连接HA₁，则∠MA₁H是直线MA₁平面BC₁A₁所成的角，
设AA₁=1，∵ABCD是菱形且∠BAD=120°，则$AM=\frac{1}{2}$，$MB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴MA₁=$\sqrt{M{A}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵ME=AA₁=1，∴BE=$\sqrt{M{B}^{2}+M{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴MH=$\frac{MB•ME}{BE}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$sin∠M{A_1}H=\frac{MH}{{M{A_1}}}=\frac{{2\sqrt{105}}}{35}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．