下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y的几组对照数据．x2345y1.5233.5(1)请根据上表提供的数据.用最小二乘法求出y关于x的回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{c}$,(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为85吨标准煤．试� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

x	2	3	4	5
y	1.5	2	3	3.5

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{c}$；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为85吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
参考公式：$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b\overline x\end{array}\right.$．

分析解（1）根据题目中的公式，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归直线的系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出回归方程；
（2）根据回归直线方程，计算x=100时$\stackrel{∧}{y}$的值，得出降低多少吨标准煤．

解答解（1）计算$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5}{4}$=3.5，$\overline{y}$=2.5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=2×1.5+3×2+4×3+5×3.5=38.5．
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²=54，
所以回归方程的系数为$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=$\frac{38.5-4×3.5×2.5}{54-4{×3.5}^{2}}$=0.7，…（5分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=2.5-0.7×3.5=0.05．
所以，所求的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.05．…（8分）
（2）现在生产100吨甲产品用煤
$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.05=70.05，
所以，降低85-70.05=14.95（吨标准煤）．…（12分）

点评本题考查了球线性回归方程的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．

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