Question

1．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设A，B两点都在以P（-2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．

Answer 1

分析 （1）根据|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用椭圆定义可得|AB|=$\frac{4}{3}$a．设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韦达定理化简可得a=$\sqrt{2}$b，从而可证b=c；
（2）设AB的中点为N（x₀，y₀），运用中点坐标公式，可得N的坐标，根据|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，可得k_PN=-1，从而可求b=6，进而可求椭圆E的方程．

解答 解：（1）∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义可得，|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
∴|AB|=$\frac{4}{3}$a，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
则|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²+$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$]=$\frac{8{b}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$•2a²，
化简得a=$\sqrt{2}$b，故b=c．
所以椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设AB的中点为N（x₀，y₀），由（1）可得，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-c=$\frac{1}{3}$c-c=-$\frac{2}{3}$c，y₀=x₀+c=$\frac{1}{3}$c，
由|PA|=|PB|，可得k_PN=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=-1，
化简为$\frac{1}{3}$c=$\frac{2}{3}$c-2，解得c=6，a=6$\sqrt{2}$，b=6．
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{72}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．

点评 本题重点考查椭圆的标准方程，考查等差数列的性质，考查两点间的距离公式，解题的关键是利用|PA|=|PB|，得k_PN=-1．属于中档题．