Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且{

Sn

n

}是等差数列，已知a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）当n≥2时，a_n+1+

λ

an

≥λ-140恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于{

Sn

n

}是等差数列，a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．可得3×

S3

3

=12，利用等差数列的通项公式可得

S3

3

=

S1

1

+d（3-1），解得d=

3

2

．可得S_n=

3

2

n2-

1

2

n．
利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）a_n+1+

λ

an

≥λ-140化为

(n+47)(3n-2)

n-1

≥λ，令n-1=t≥1，则

(n+47)(3n-2)

n-1

=

(t+48)(3t+1)

t

=3t+

48

t

+145，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（I）∵{

Sn

n

}是等差数列，a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．
∴3×

S3

3

=12，∴

S3

3

=4．
∴

S3

3

=

S1

1

+d（3-1），即4=1+2d，解得d=

3

2

．
∴

Sn

n

=1+

3

2

(n-1)，
∴S_n=

3

2

n2-

1

2

n．
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

n2-

1

2

n-[

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)]=3n-2（n≥2），
当n=1时，也成立．
∴a_n=3n-2．
（II）a_n+1+

λ

an

≥λ-140化为3n+141+

λ

3n-2

≥λ，化为

(n+47)(3n-2)

n-1

≥λ，
令n-1=t≥1，则

(n+47)(3n-2)

n-1

=

(t+48)(3t+1)

t

=3t+

48

t

+145≥3×2

t• 16 t

+145=169，当t=4，即n=5时，取等号．
∴λ≤169．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、递推式的应用、基本不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．