Question

设数列1，1+

1

2

，1+

1

2

+

1

22

，…，1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，…的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

（S_n-2n）的值为（　　）

• A、2
• B、0
• C、1
• D、-2

Answer 1

考点：数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等比数列的求和公式可求得1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，再分组求和后取极限即可．

解答： 解：∵1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1，
∴S_n=2n-（1+

1

2

+

1

22

+…+(

1

2

)n-1）=2n-（2-(

1

2

)n-1），
∴

lim

n→∞

（S_n-2n）=

lim

n→∞

（-2+(

1

2

)n-1）=-2+

lim

n→∞

(

1

2

)n-1=-2+0=-2．
故选：D．

点评：本题考查数列的极限，求得通项1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1是关键，考查等比数列的求和公式与分组求和的应用，属于中档题．