Question

16．已知等差数列{a_n}满足a₃=3，a₅=9；数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足${b}_{1}=1，{b}_{2}=3，{S}_{n+1}=4{S}_{n}-3{S}_{n-1}（n≥2，n∈{N}^{*}）$．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的$n∈{N}^{*}，（{S}_{n}+\frac{1}{2}）?k≥{a}_{n}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式、递推关系即可得出．
（II）利用等比数列的求和公式可得S_n，原不等式可转化为（$\frac{{3}^{n}-1}{2}+\frac{1}{2}）•k≥3n-6$•k≥3n-6对n∈N^*恒成立，化简利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）由a₅-a₃=2d=6，得d=3，∴a_n=3+（n-3）×3=3n-6．
∴a_n=3n-6．
由S_n+1=4S_n-3S_n-1，得S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），即b_n+1=3b_n（n≥2）．
又${b}_{2}=3=3{b}_{1}，即\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=3$（n∈N^*），
∴{b_n}是等比数列，其中首相为b₁=1，公比为3，
∴${b}_{n}=1×{3}^{n-1}={3}^{n-1}$．
（II）${S}_{n}=\frac{1×（1-{3}^{n}）}{1-3}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴原不等式可转化为（$\frac{{3}^{n}-1}{2}+\frac{1}{2}）•k≥3n-6$•k≥3n-6对n∈N^*恒成立，
∴$k≥\frac{2（3n-6）}{{3}^{n}}$对n∈N^*恒成立．
令${c}_{n}=\frac{2（3n-6）}{{3}^{n}}，{c}_{n}-{c}_{n-1}=\frac{2（3n-6）}{{3}^{n}}-\frac{2[3（n-1）-6]}{{3}^{n-1}}=\frac{-12n+42}{{3}^{n}}（n≥2）$．
当n≤3时，c_n-c_n-1＞0即c_n＞c_n-1；  当n≥3时，c_n＜c_n-1．
∴当n=3时c_n有最大值，最大值为${c}_{3}=\frac{2（3×3-6）}{{3}^{3}}=\frac{2}{9}$，
∴$k≥\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、不等式的性质、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．