Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是C₁C的中点，则BE与平面B₁BDD₁所成的角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系O-xyz，分别求出面B₁BDD₁的法向量和直线BE的方向向量，代入向量夹角公式，可得BE与平面B₁BDD₁所成角的正弦值，从而可得BE与平面B₁BDD₁所成的角的余弦值．

解答： 解：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系O-xyz
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）
根据正方体的几何特征，可得AC⊥平面B₁BDD₁，
故

AC

=（2，2，0）是平面B₁BDD₁的一个法向量
又∵

BE

=（0，2，1）
故BE与平面B₁BDD₁所成角θ满足sinθ=

4

2 2 • 5

=

10

5

，
∴cosθ=

15

5

故答案为：

15

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．