Question

3．若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（　　）

• A． $\frac{25}{3}$π
• B． $\frac{28}{3}$π
• C． $\frac{28\sqrt{21}}{27}$π
• D． $\frac{25\sqrt{21}}{27}$π

Answer 1

分析 设球心为O，求出AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，设AC∩BD=E，则BE=$\sqrt{2}$，OP=OB=R，设OE=x，则OB²=BE²+OE²=2+x²，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO²=OH²+PH²=1+（$\sqrt{3}$-x）²，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．

解答 解：设球心为O，如图，
∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，
∴AD=2，BD=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
设AC∩BD=E，则BE=$\sqrt{2}$，
∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，
设OE=x，在Rt△BOE中，OB²=BE²+OE²=2+x²，
过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，
∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，
∴在Rt△POH中，PO²=OH²+PH²=1+（$\sqrt{3}$-x）²=x²-2$\sqrt{3}x$+4，
∴2+x²=x²-2$\sqrt{3}x$+4，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴R=$\sqrt{2+{x}^{2}}=\sqrt{2+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴此球的表面积S=4πR²=4π×$\frac{7}{3}$=$\frac{28}{3}π$．
故选：B．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四棱锥的性质及构造法的合理应用．