Question

13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A走过的路程是$\frac{7}{6}π+\frac{\sqrt{5}}{2}π$．

Answer 1

分析 由弧长公式计算各段弧长，相加可得答案．

解答 解：第一次是以B为旋转中心，以BA=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是$\frac{π}{2}×\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}π$．
第二次是以C为旋转中心，
以CA₁=1为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是$\frac{π}{2}×1$=$\frac{π}{2}$．
第三次是以D为旋转中心，
以DA₂=2为半径旋转60°，
此次点A走过的路径是$\frac{π}{3}×2=\frac{2}{3}π$，
∴点A三次共走过的路径是$\frac{\sqrt{5}π}{2}+\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}$=$\frac{7}{6}π+\frac{\sqrt{5}}{2}π$．
故答案为：$\frac{7}{6}π+\frac{\sqrt{5}}{2}π$．

点评 本题考查弧长公式，求出各段弧长的圆心角和半径是解决问题的关键，属基础题．