Question

15．已知如图为f（x）=msin（ωx+φ）+n，m＞0，ω＞0的图象．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$a=\sqrt{3}，f（A）=1+\sqrt{3}$，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象列出方程组求出m、n的值，由周期公式求出ω的值，把点$（\frac{π}{3}，3）$代入解析式求出φ的值，即可求出f（x）；
（2）由（1）化简$f（A）=1+\sqrt{3}$后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出b、c，表示出△ABC的周长，由整体思想和正弦函数的性质求出△ABC的周长的取值范围．

解答 解：（1）由图得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{-m+n=-1}\end{array}\right.$，解得m=2、n=1，
且 $\frac{1}{2}T=\frac{7π}{3}-\frac{π}{3}$=2π，则T=4π，
由$\frac{2π}{ω}=4π$得$ω=\frac{1}{2}$，
因为过点$（\frac{π}{3}，3）$，所以$2sin（\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+φ）+1=3$，
即$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
则$f（x）=2sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}}）+1$；
（2）由（1）得，$f（A）=2sin（{\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}}）+1=1+\sqrt{3}$，
化简得，$sin（{\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由0＜A＜π得，$\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}）$，
则$\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$，所以$A=\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，
则b=2sinB，c=2sinC，
所以周长为$\sqrt{3}+2sinB+2sinC$=$\sqrt{3}+2sinB+2sin（\frac{π}{3}-B）$
=$\sqrt{3}+2（sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB）$
=$\sqrt{3}+2sin（{B+\frac{π}{3}}）$，
又$A=\frac{2π}{3}$，则$0＜B＜\frac{π}{3}$，即$B+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$，
所以$sin（{B+\frac{π}{3}}）∈（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，
则周长范围是$（{2\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查正弦定理，由图象求三角形的解析式，周期公式，以及正弦函数的性质的应用，考查化简、变形能力．