Question

14．已知x，y均为正实数，则$\frac{x}{2x+y}$+$\frac{y}{x+2y}$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用换元法将所求转化为利用基本不等式求最大值．

解答 解：设2x+y=m，x+2y=n，
则x=$\frac{2}{3}m-\frac{1}{3}n$，y=$\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}m$，（m＞0，n＞0）
∴$\frac{x}{2x+y}$+$\frac{y}{x+2y}$=$\frac{4}{3}-\frac{1}{3}$（$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$）≤$\frac{4}{3}-\frac{1}{3}×2$=$\frac{2}{3}$，
当且仅当m=n时取等号；
故选：B

点评 本题考查换元法、基本不等式的运用，正确换元是关键．