题目内容

4.设函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{a}{2}$x2+bx+c(a>0),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1
(1)求b,c的值;
(2)若函数f(x)有且只有两个不同的零点,求实数a的值.

分析 (1)先求f(x)的导数f'(x),再求f(0),由题意知f(0)=1,f'(0)=0,从而求出b,c的值;
(2)求导数,利用f(a)=0,即可求出实数a的值.

解答 解:(1)因为函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{a}{2}$x2+bx+c,所以导数f'(x)=x2-ax+b,
又因为曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,
所以f(0)=1,f'(0)=0,即b=0,c=1.
(2)由(1),得f'(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0)
由f'(x)=0得x=0或x=a,
∵函数f(x)有且只有两个不同的零点,
所以f(0)=0或f(a)=0,
∵f(0)=1,
∴f(a)=$\frac{1}{3}$a3-$\frac{1}{2}{a}^{3}$+1=0,
∴a=$\root{3}{6}$.

点评 本题主要考查导数的概念及应用:求极值,解题中必须注意过某点的切线与在某点处的切线的区别,本题就是一个很好的例子,同时考查了字母的运算能力,是一道中档题.

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