Question

某校高一年级共有四个班，在一次数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩分析．各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的成绩统计结果的频率分直方图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）分数段的人数为5人．
（Ⅰ）求各班被抽取的学生人数分别为多少人？
（Ⅱ）在抽取的所有学生中，任取一人，求分数不小于90分的概率．
（Ⅲ）在120～130分的甲、乙等5人中，随机抽取3人参加高一数学竞赛．求恰好含有甲乙中一人的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）首先根据频率分布直方图，以及120～130（包括120分但不包括130分）分数段的人数为5人，求出抽取的学生总数；然后根据各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人，求出各班被抽取的学生人数分别为多少人即可；
（Ⅱ）在频率分布直方图中，把分数不小于90分的各段的频率相加，即可求出分数不小于90分的概率；
（Ⅲ）用抽取的3人中恰好含有甲乙中一人的事件的个数，除以从5人中抽取3人的全部的事件的个数，即得恰好含有甲乙中一人的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，抽取的学生总数为：

5

0.005×10

=100（人），
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d，
由4×22+6d=100，得d=2．
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人．
（Ⅱ）在抽取的学生中，任取一人，其分数不小于9（分）的概率为：
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75；
（Ⅲ）设120～130分的有甲、乙、丙、丁、戊5人，
抽取的3人中恰好含有甲乙中一人的事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），一共有6个，
从5人中抽取3人的全部事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），一共有10个，
所以恰好含有甲乙中一人的概率为：

6

10

=

3

5

．

点评：本题主要考查了频率分步直方图的应用，考查了等可能事件的概率的求法，以及等差数列的性质和运用，属于中档题．