Question

已知定点F（0，1）和直线l₁：y=-1，过定点F与直线l₁相切的动圆的圆心为点C．
（Ⅰ）求动点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求

RP

•

RQ

最小值，并求此时的直线l₂的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据点G到点F的距离等于它到l₁的距离，依据抛物线的定义可知点G的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线，进而求得其轨迹方程．
（2）设出直线l₂的方程与抛物线方程联立消去y，设出P，Q的坐标，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而可得点R的坐标，表示出

RP

•

RQ

，根据均值不等式求得其最小值．

解答： 解：（1）由题设点G到点F的距离等于它到l₁的距离，
∴点G的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x²=4y；
（2）由题意直线l₂的方程为y=kx+1，
与抛物线方程联立消去y得x²-4kx-4=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为（-

2

k

，-1），
∴

RP

•

RQ

=（1+k²）x₁x₂+（

2

k

+2k）（x₁+x₂）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8≥16，当且仅当k²=1时取到等号，
∴

RP

•

RQ

的最小值为16．此时直线l₂的方程为x+y-1=0或x-y+1=0．

点评：本题考查抛物线方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．