Question

11．已知奇函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是定义域为R的减函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f（0）=0，定义域为R，f（-1）=-f（1）即可求得a，b的值．
（Ⅱ）将f（t²-2t）+f（2t²-k）0变形为：f（t²-2t）+＜-f（2t²-k），因为f（x）是奇函数，-f（2t²-k）=-f（k-2t²），在利用f（x）减函数解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即$\frac{b-1}{a+2}=0⇒b=1$；
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^{x+1}}}}$；
又∵定义域为R，则有f（-1）=-f（1），
可得：$\frac{1-2}{a+4}=-\frac{{1-\frac{1}{2}}}{a+1}⇒a=2$；
经检验：f（x）是奇函数，满足题意．
所以a，b的值分别为1，2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），因f（x）为减函数，f（t²-2t）＜f（k-2t²），得：t²-2t＞k-2t²
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，开口向上，
从而判别式$△=4+12k＜0⇒k＜-\frac{1}{3}$．
所以k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了函数的基本性质之奇函数的运用能力．属于中档题．