Question

13．已知函数f（x）=x²+2x+2，x∈[a，a+2]，a∈R．
（1）求函数的最小值；
（2）求函数的最大值；
（3）若f（x）的最小值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得，分析区间与对称轴的关系，即可得到最小值．
（2）由题意得，分析区间与对称轴的关系，即可得到最大值．
（3）由（1）得，最小值为2时，得到a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∵x∈[a，a+2]，
①a≤-3时，f（x）最小值为f（a+2）=a²+6a+10，
②-3＜a＜-1时，f（x）最小值为f（-1）=1，
③a≥-1时，f（x）最小值为f（a）=a²+2a+2，
（2）∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
x∈[a，a+2]，
①a≤-2时，f（x）的最大值为f（a））=a²+2a+2，
②a＞-2时，f（x）的最大值为f（a+2）=a²+6a+10，
（3）由（1）得
①a≤-3时，f（x）最小值为f（a+2）=a²+6a+10=2，得：a=-4，
②-3＜a＜-1时，f（x）最小值为f（-1）=1=2，舍掉，
③a≥-1时，f（x）最小值为f（a）=a²+2a+2=2，得：a=0
综上所述a=-4或0．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，需分类讨论．