Question

2．P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点，F₁，F₂分别为左右焦点，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$所成角为60°，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． 9
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，根据双曲线的性质可知|F₁F₂|=10，|PF₂|=m+8．在△F₁PF₂中使用余弦定理解出m，代入三角形的面积公式即可得出面积．

解答 解：a=4，c=5．
∴|F₁F₂|=2c=10．
不妨设P在双曲线左支上，由双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a=8．
设|PF₁|=m，则|PF₂|=m+8．
由余弦定理得cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+（m+8）^{2}-100}{2m（m+8）}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=2$\sqrt{13}$-4，
∴S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin∠{F}_{1}P{F}_{2}$=$\frac{1}{2}×$（2$\sqrt{13}$-4）×（2$\sqrt{13}$+4）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的性质，余弦定理，属于中档题．