Question

【题目】某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．

(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求函数的定义域；

(2)当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

【答案】（1） ，函数的定义域为．（2）切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．

【解析】试题分析：（1）先用x表示长宽高，再根据长方体体积公式列函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，最后根据单调性确定函数最值

试题解析：（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，

所以铁皮箱的体积 ．

函数的定义域为．

（2）由（1）得， ，

令，解得．

当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减．

所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值．

又．

答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．