题目内容

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am , 则称{an}是“H数列”.
(1)若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;
(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;
(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

【答案】
(1)解:当n≥2时,an=Sn﹣Sn1=2n﹣2n1=2n1

当n=1时,a1=S1=2.

当n=1时,S1=a1

当n≥2时,Sn=an+1

∴数列{an}是“H”数列


(2)解:Sn= =

n∈N*m∈N*使Sn=am,即

取n=2时,得1+d=(m﹣1)d,解得

∵d<0,∴m<2,

又m∈N*,∴m=1,∴d=﹣1


(3)证明:设{an}的公差为d,令bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1

n∈N*,bn+1﹣bn=﹣a1

cn=(n﹣1)(a1+d),

n∈N*,cn+1﹣cn=a1+d,

则bn+cn=a1+(n﹣1)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列.

数列{bn}的前n项和Tn=

令Tn=(2﹣m)a1,则

当n=1时,m=1;当n=2时,m=1.

当n≥3时,由于n与n﹣3的奇偶性不同,即n(n﹣3)为非负偶数,m∈N*

因此对n∈N*,都可找到m∈N*,使Tn=bm成立,即{bn}为H数列.

数列{cn}的前n项和Rn=

令cm=(m﹣1)(a1+d)=Rn,则m=

∵对n∈N*,n(n﹣3)为非负偶数,∴m∈N*

因此对n∈N*,都可找到m∈N*,使Rn=cm成立,即{cn}为H数列.

因此命题得证


【解析】(1)利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn1 , 当n=1时,a1=S1”即可得到an , 再利用“H”数列的意义即可得出.(2)利用等差数列的前n项和即可得出Sn , 对n∈N*m∈N*使Sn=am , 取n=2和根据d<0即可得出;(3)设{an}的公差为d,构造数列:bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1 , cn=(n﹣1)(a1+d),可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.
【考点精析】本题主要考查了等差数列的性质的相关知识点,需要掌握在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能正确解答此题.

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